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                      鎖相環環路計算中用到的波特圖

                      發布時間:2022-10-09 責任編輯:lina

                      【導讀】波特圖也是根據人名命名的,它是出自貝爾實驗室,由荷蘭裔科學家 Hendrik Wade Bode在1930年發明的。Bode當時需要設計用于電話網絡的放大器,放大器帶有負反饋。為了能夠快速了解放大器保持絕對穩定所需的增益裕度和相位裕度,Bode開發了波特圖。


                      為什么要學習波特圖呢?

                       

                      波特圖將傳輸函數和頻率響應定性的聯系起來了,通過波特圖的繪制,可以了解極點和零點是怎么影響頻率響應的幅度和相位,進而影響電路的性能。

                       

                      換成人話,可以這樣說。

                       

                      呀,這個電路不穩定啊。畫畫波特圖,噢,原來相位裕度接近為0啊。這個可以看看,電路上哪些因素會影響極點零點的位置,調整一下,就能改進電路的穩定性。

                       

                      什么是波特圖?

                       

                      波特圖也是根據人名命名的,它是出自貝爾實驗室,由荷蘭裔科學家 Hendrik Wade Bode在1930年發明的。Bode當時需要設計用于電話網絡的放大器,放大器帶有負反饋。為了能夠快速了解放大器保持絕對穩定所需的增益裕度和相位裕度,Bode開發了波特圖。

                       

                      假設一系統為線性時不變系統,傳輸函數為H(s)。則波特圖有兩副圖,幅頻圖和相頻圖,分別對應增益和相位。

                       

                      幅頻圖是|H(s=jw)|隨頻率的函數,其橫軸為頻率,用對數尺度表示;縱軸為功率的dB值,即20log10|H|。

                       

                      相頻圖是arg(H(s=jw))隨頻率的函數,其橫軸為頻率,用對數尺度表示;縱軸的單位一般為度,為線性值。

                       

                      怎么畫波特圖?

                       

                      畫幅頻圖時,遵循以下規則:

                       

                      (1) 當頻率w經過極點時,|H(jw)|的斜率變為-20dB/dec,也就是以頻率變化10倍,|H(jw)|變小20dB;

                       

                      (2) 當頻率w經過零點時,|H(jw)|的斜率變為20dB/dec,也就是以頻率變化10倍,|H(jw)|變大20dB;

                       

                      (3) 圖在起始點時的增益值,可以計算頻率的下限值對應的|H(jw)|;

                      如果零點沒有在原點處的時候,可以將w=0代入|H(jw)|,計算其在DC處的增益;

                      如果有零點處在原點處,則可以選擇一個靠近w=0的值,比如說w=1作為|H(jw)|的初始值。零點在原點,即w=0時,|H(jw)|=0,因為縱軸是對數值,所以不可能在圖中包括|H(jw)|=0的值。

                       

                        (4) 圖在起始點的斜率,取決于在w小于起始點處零點和極點的個數,然后按照(1)和(2)的規則計算;如果在w小于起始點處無零點和極點,則初始斜率為0。

                         

                        畫相頻圖時,遵循以下規則:

                        (1) 假設極點為wp,即其則曲線在0.1wp處開始變化,在wp處變化-45度,在10wp處變化接近于-90度。

                        (2) 假設零點為wz,則曲線在0.1wz處開始變化,在wz處變化45度,在10wz處變化接近于90度。

                         

                        看到電路,快速畫出波特圖,了解系統的穩定性

                         

                        如下圖所示,是一個通用的反饋系統框圖。

                        鎖相環環路計算中用到的波特圖

                         

                        當K等于0時,沒有反饋,此時系統為開環系統;

                         

                        當K不等于0時,此時系統為閉環系統。

                         

                        該系統的傳輸函數為:

                        鎖相環環路計算中用到的波特圖

                         

                        其中,KH(s)稱為環路增益。

                         

                        假設上面的系統的輸入為正弦信號,則s=jw。這個假設是合理的,因為任何信號都可以分解成多個正弦函數之和。
                        所以:

                        鎖相環環路計算中用到的波特圖

                         

                        由上面等式可知,當KH(jw)=-1時,Y/X-->無窮大,即使X很小很小,也會導致很大的Y輸出,即系統處于振蕩狀態,不穩定。

                         

                        所以為了保證系統穩定,需要在任何頻率處都不能滿足KH(jw)=-1的條件,即|KH(jw)|=1&arg(H(jw))=-180度。

                         

                        那如果是|KH(jw)|>1&arg(H(jw))=180度呢?

                         

                        因為每經過一次環路,信號都會被進一步放大,因為反相,所以疊加出來的信號會變得越來越大。

                         

                        所以當

                        |KH(jw)|>=1

                        arg(KH(jw))=180度,

                        系統都處于一個不穩定的狀態。

                         

                        用圖形示意,可能會比較直觀。

                         

                        鎖相環環路計算中用到的波特圖

                         

                        增益等于0dB對應的頻率,稱為gain crossover frequency.

                         

                        相位等于-180度對應的頻率,稱為phase crossover frequency.

                         

                        若系統穩定,則要求gain crossover frequency<phase crossover frequency.

                         

                        舉兩個例子,解釋一下,如何從電路到波特圖,再分析系統的穩定性。

                         

                        鎖相環環路計算中用到的波特圖

                         

                        所以,如果電路只包含一個極點的話,那么這個系統肯定是穩定的。

                         

                        鎖相環環路計算中用到的波特圖

                         

                        可以看到,系統中相應部件對最后波特圖的影響,比如說,原來系統處于不穩定的狀態,但是當降低K的值時,系統則會變穩定。

                         

                        增益裕度和相位裕度

                         

                        增益裕度和相位裕度都是衡量系統穩定程度的方法。

                         

                        在相位圖上,找到相位達到-180度時對應的頻率,然后計算該頻率對應的幅度值。如果|KH(jw)|180>=1,則該系統不穩定;如果|KH(jw)|180<1,則系統穩定。

                         

                        而20log|KH(jw)|180即為增益裕度,代表相位達到-180度時對應的幅度值與0dB的距離。

                         

                        在波特增益圖上,找到|KH(jw)|=1的頻率,稱為w0dB,然后找到該頻率下KH(jw)w0dB的相位。

                         

                        如KH(jw)w0dB的相位大于-180度,則系統穩定。

                         

                        KH(jw)w0dB的相位與-180度之間的差,稱為相位裕度。

                         

                        一般取相位裕度為60度左右,此時任務系統處于一比較好的穩定狀態。

                         

                        鎖相環環路計算中用到的波特圖

                         

                        不想自己手工畫波特圖,怎么辦?

                         

                        計算機已如此普及,當然可以不用手工畫啦。matlab中有現成的函數。

                         

                        鎖相環環路計算中用到的波特圖

                         

                        還有什么可以用到波特圖呢?

                         

                        那就是鎖相環。

                         

                        當環路濾波器只有一個電容時,如下圖所示。

                         

                        可以看到環路中只有兩個零極點,所以相位圖為接近-180度的一條直線,因此其總相位裕度基本為0,表面這個鎖相環是不穩定的。

                         

                        鎖相環環路計算中用到的波特圖

                         

                        解決問題的一個辦法是給電容加入一個串聯電阻R,這樣就引入了一個零點,從而對環路進行相位補償。

                         

                        鎖相環環路計算中用到的波特圖

                         

                        在實際的應用中,需要額外增加電阻電容低通濾波器,以濾掉一些高頻噪聲和電壓波動。其中最簡單的一種是在上述電容電阻兩端再加一個電容C1,通常C1遠小于積分電容C0,如下圖所示。

                         

                        鎖相環環路計算中用到的波特圖

                         

                        這就是我們常用的環路濾波器的結構。

                         

                        參考文獻:

                        https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A2%E5%BE%B7%E5%9C%96#%E5%A2%9E%E7%9B%8A%E8%A3%95%E5%BA%A6
                        https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/phase-margin
                        https://web.njit.edu/~levkov/classes_files/ECE232/Handouts/Frequency%20Response.pdf
                        https://www.mathworks.com/help/control/ref/lti.bode.html
                        https://www.rohde-schwarz.com/us/products/test-and-measurement/oscilloscopes/educational-content/understanding-bode-plots_254514.html
                        https://web.mit.edu/2.14/www/Handouts/PoleZero.pdf
                        張剛,CMOS集成鎖相環電路設計


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